3京都大学 2006年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{gathered} \text{左側の放物線を }y=a\left(x+\frac12\right)^2+\frac14\text{ とおく。原点を通るから }0=\frac a4+\frac14\text{ であり、}a=-1.\\ したがって、x\le0\text{ では }f(x)=-\left(x+\frac12\right)^2+\frac14=-x^2-x.\\ \text{原点対称性から、}x\ge0\text{ では }f(x)=-f(-x)=x^2-x.\\[2mm] f(-1)=0,\qquad f'(-1)=(-2x-1)\big|_{x=-1}=1\text{ より、}x=-1\text{ における接線は }y=x+1.\\[2mm] \text{左側の枝との交点は }x+1=-x^2-x\quad\text{すなわち}\quad(x+1)^2=0\text{ より }x=-1.\\ \text{右側の枝との交点は }x+1=x^2-x\quad\text{すなわち}\quad x^2-2x-1=0\text{ より、}x=1+\sqrt2\ (x\ge0).\\ b=1+\sqrt2\text{ とおく。}\ -1\le x\le0\text{ では }(x+1)-f(x)=(x+1)^2\ge0,\text{ また }0\le x\le b\text{ では }(x+1)-f(x)=-x^2+2x+1\ge0.\\[2mm] S=\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx+\int_0^b(-x^2+2x+1)\,dx\\ =\frac13+\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+x\right]_0^b.\\ b^2=2b+1,\qquad b^3=5b+2\text{ なので、}\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+x\right]_0^b=\frac{4b+1}{3}.\\ \text{したがって}\quad S=\frac13+\frac{4b+1}{3}=\frac{6+4\sqrt2}{3}. \end{gathered}$$