京都大学 2006年数学第4問解答・解説

数学と人間の活動（整数）数と式

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1問題

京都大学2006年度第4問配点 35点

2以上の自然数nに対し，nとn^2+2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

3を法とする余り（3で割った余り）で場合分けし、n≠3ではn^2+2が3より大きい3の倍数になることを示す。最後にn=3を代入して成立を確かめる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\boxed{n=3}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

両方が素数であるとする。 n は素数である。 $n\ne3$ ならば 3 $\nmid$ n なので、 $n=3k+1$ または $n=3k+2$ と書ける。 $n=3k+1$ のとき $n^2+2=3(3k^2+2k+1)$ 、 $n=3k+2$ のとき $n^2+2=3(3k^2+4k+2)$ 。したがって $3\mid n^2+2$ 。また $n\geq2$ より $n^2+2\geq6>3$ だから、 $n^2+2$ は合成数となり矛盾。ゆえに $n=3$ 。逆に $n=3$ なら $n^2+2=11$ であり、11 は素数なので、両方とも素数である。

この問題で使う考え方

約数・倍数
対偶・背理法による証明

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