5京都大学 2006年 数学 第5問解答・解説

$P,Q,R$ がそれぞれ辺の内部にあるので、$0<p,q,r<1$ として $$P=(1-p)A+pB,\qquad Q=(1-q)B+qC,\qquad R=(1-r)C+rA$$ と表せる。重心 $G$ の $ABC$ に関する重心座標を $(\alpha,\beta,\gamma)$ とすると $$\displaystyle G=\alpha A+\beta B+\gamma C,\qquad (\alpha,\beta,\gamma)=\left(\frac{1-p+r}{3},\frac{p+1-q}{3},\frac{q+1-r}{3}\right).$$ よって $\alpha+\beta+\gamma=1$ であり、$0<p,q,r<1$ から $$\displaystyle 0<\alpha,\beta,\gamma<\frac23.$$ したがって、動く範囲はこの三つの不等式を満たす点に限られる。

逆に、$\alpha+\beta+\gamma=1$ かつ $0<\alpha,\beta,\gamma<2/3$ とする。$X=3\alpha$, $Y=3\beta$, $Z=3\gamma$ とおけば $0<X,Y,Z<2$ かつ $X+Y+Z=3$ である。次の区間は空でない。 $$\displaystyle \max(0,Y-1,1-X)<p<\min(1,Y,2-X).$$ 実際、下限候補と上限候補を比べると、$Y-1<2-X$ は $X+Y=3-Z<3$ から、$1-X<Y$ は $X+Y=3-Z>1$ から従い、他の比較は $0<X,Y<2$ から従う。そこでこの区間から $p$ を一つ選び、 $$q=p+1-Y,\qquad r=p+X-1$$ とおく。この区間の条件から $0<p,q,r<1$ であり、上の重心座標の式に代入すると $(\alpha,\beta,\gamma)=(X/3,Y/3,Z/3)$ を得る。従って、条件を満たすすべての点が実際に重心として現れる。

以上より、重心の範囲は重心座標で $$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=1,\qquad 0<\alpha,\beta,\gamma<\frac23$$ を満たす領域である。図示するには、各辺の三等分点6個を順に結んでできる中央の六角形の内部を示す。頂点は重心座標で $$\displaystyle \left(\frac23,\frac13,0\right),\left(\frac13,\frac23,0\right), \left(0,\frac23,\frac13\right),\left(0,\frac13,\frac23\right), \left(\frac13,0,\frac23\right),\left(\frac23,0,\frac13\right)$$ であり、$P,Q,R$ は辺の頂点を除くため、この六角形の境界は含まれない。