2東京医科歯科大学 2000年 数学 第2問解答・解説

点 $P$ の位置ベクトルを $\vec p=(x,y)$ とする。

(1) 成分で表すと $$x=2r+s,\qquad y=r+4s.$$ よって $$4x-y=7r,\qquad 2y-x=7s,\qquad 3x+y=7(r+s).$$ 条件は $$\displaystyle 4x-y\ge0,\quad 2y-x\ge0,\quad \frac72\le3x+y\le7$$ となる。境界は頂点 $\displaystyle (1,\frac12),(2,1),(1,4),(\frac12,2)$ をこの順に結ぶ閉四角形である。　 　 以下の図では、塗りつぶした部分が求める領域であり、実線の境界と頂点はすべて含む。

(2) $t=1-r-s$ を代入すると $$(x,y)=(2r+s-2t,\ r+4s-3t)=(4r+3s-2,\ 4r+7s-3).$$ $(r,s,t)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ に対応する点はそれぞれ $(2,1),(1,4),(-2,-3)$ であり、$(r,s,t)$ の条件は単位和の三角形なので、その像はこの3点を頂点とする閉三角形である。

(3) $\vec v_1=\vec a,\vec v_2=\vec b,\vec v_3=\vec c,\vec v_4=\vec d$ とし、$\lambda=r+s+t+u$ とおく。$1\le\lambda\le2$ であり、$q_1=r/\lambda,q_2=s/\lambda,q_3=t/\lambda,q_4=u/\lambda$ とすると $q_i\ge0$, $\displaystyle \sum q_i=1$ である。したがって $$\displaystyle \vec p=\lambda\sum\limits _{i=1}^4q_i\vec v_i =(2-\lambda)\sum\limits _{i=1}^4q_i\vec v_i+(\lambda-1)\sum\limits _{i=1}^4q_i(2\vec v_i).$$ 右辺は $\vec v_i$ と $2\vec v_i$ の凸結合である。逆に、その8点の任意の凸結合で $\vec v_i$ の係数を $\alpha_i$, $2\vec v_i$ の係数を $\beta_i$ とすれば、$r_i=\alpha_i+2\beta_i\ge0$ とおくことで $\displaystyle 1\le\sum r_i=1+\sum\beta_i\le2$ となる。従って求める領域は $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d,2\vec a,2\vec b,2\vec c,2\vec d$ の凸包である。 $$\displaystyle \vec c=\frac15\vec a+\frac25\vec b+\frac25\vec d$$ より $\vec c$ は $\vec a,\vec b,\vec d$ の三角形内にあり、$2\vec c$ も $2\vec a,2\vec b,2\vec d$ の三角形内にある。また $$\displaystyle \vec d=\frac9{17}\vec a+\frac3{17}\vec b+\frac5{17}(2\vec d)$$ なので $\vec d$ は $\vec a,\vec b,2\vec d$ の凸包内にある。従って凸包の頂点は $\vec a,\vec b,2\vec b,2\vec d,2\vec a$ であり、座標では $(2,1),(1,4),(2,8),(6,6),(4,2)$ の順である。辺の直線は順に $$\displaystyle 3x+y=7,\quad y=4x,\quad x+2y=18,\quad y=2x-6,\quad y=\frac{x}{2}$$ であり、領域はその内側、すなわち $$\displaystyle 3x+y\ge7,\quad y\le4x,\quad x+2y\le18,\quad y\ge2x-6,\quad y\ge\frac{x}{2}$$ で表される。いずれも境界を含む。