2東京大学 2020年 数学 第2問解答・解説

三角形ABCは面積1なので、任意の点Xを一意に$X=xA+yB+zC\ (x+y+z=1)$と表す。係数の面積比から$\triangle ABX=|z|,\ \triangle BCX=|x|,\ \triangle CAX=|y|$である。したがって条件は$2\le |x|+|y|+|z|\le3$。

$t$を$x,y,z$の負の項の絶対値の和とする。負の項の和は$-t$、正の項の和は$1+t$だから、$|x|+|y|+|z|=1+2t$。よって$\displaystyle \frac12\le t\le1$。

まず負の係数が1つの場合を考える。例えば$x=-u$とすると、$\displaystyle \frac12\le u\le1$、$0\le y\le1+u$、$z=1+u-y\ge0$。$(x,y)$座標での領域は、幅$\displaystyle \frac32$と$2$、高さ$\displaystyle \frac12$の台形なので、その面積は$\displaystyle \frac12(\frac32+2)\frac12=\frac78$。負の係数の選び方は3通りある。

負の係数が2つの場合、例えば$x=-u,y=-v$とすると、$u,v\ge0$、$\displaystyle \frac12\le u+v\le1$。これは辺長1の直角二等辺三角形から辺長$\displaystyle \frac12$の同形三角形を除いた部分で、その面積は$\displaystyle \frac12-\frac18=\frac38$。正の係数の選び方は3通りある。したがって$(x,y)$座標平面での合計面積は$$\displaystyle 3\cdot\frac78+3\cdot\frac38=\frac{15}{4}.$$

実平面への写像は$X=A+y(B-A)+z(C-A)$であり、その面積倍率は$|\det(B-A,C-A)|=2\triangle ABC=2$。よって求める面積は$\displaystyle 2\cdot\frac{15}{4}=\boxed{\frac{15}{2}}$。