4東京大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad a_{n,2}=\sum\limits _{0\le i<j\le n-1}2^{i+j}. \text{ここで}\left(\sum\limits _{i=0}^{n-1}2^i\right)^2=\sum\limits _{i=0}^{n-1}4^i+2a_{n,2}\text{であり、等比数列の和より}\\ \sum\limits _{i=0}^{n-1}2^i=2^n-1,\qquad \sum\limits _{i=0}^{n-1}4^i=\frac{4^n-1}{3}.\\ \therefore\quad a_{n,2}=\frac12\left((2^n-1)^2-\frac{4^n-1}{3}\right)=\frac{(2^n-1)(2^n-2)}{3}.\\ \text{(2)}\quad x^k\text{の係数は、}\{2^0,\dots,2^{n-1}\}\text{から異なる}k\text{個を選んだ積の総和なので}\\ f_n(x)=\prod\limits _{m=0}^{n-1}(1+2^m x).\\ \text{したがって}\quad f_{n+1}(x)=(1+2^n x)f_n(x),\qquad \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=1+2^n x.\\ \text{また}\quad f_n(2x)=\prod\limits _{m=1}^{n}(1+2^m x),\qquad f_{n+1}(x)=(1+x)\prod\limits _{m=1}^{n}(1+2^m x),\\ \therefore\quad \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}=1+x.\\ \text{(3)}\quad 1\le k<n\text{とする。(2)の二つの積の等式から}x^{k+1}\text{の係数を比較すると}\\ a_{n+1,k+1}=a_{n,k+1}+2^n a_{n,k},\qquad a_{n+1,k+1}=2^{k+1}a_{n,k+1}+2^k a_{n,k}.\\ \text{これらを等置して}\quad (2^{k+1}-1)a_{n,k+1}=(2^n-2^k)a_{n,k}.\\ \text{ゆえに}\quad \frac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}=2^n+\frac{a_{n,k+1}}{a_{n,k}}=2^n+\frac{2^n-2^k}{2^{k+1}-1}=\frac{2^k(2^{n+1}-1)}{2^{k+1}-1}.\\ \text{境界}k=n\text{では}\quad a_{n,n}=2^{n(n-1)/2},\qquad a_{n+1,n+1}=2^{n(n+1)/2},\\ \frac{a_{n+1,n+1}}{a_{n,n}}=2^n=\frac{2^n(2^{n+1}-1)}{2^{n+1}-1}. \text{よって同じ公式が}1\le k\le n\text{で成り立つ。}$$