5東京大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) 底面上の点を $P=(u,v,0)$（$u^2+v^2\le1$）とする。線分 $AP$ 上で高さ $z=1$ にある点は $A$ と $P$ の中点だから、その座標は $$\displaystyle \left(\frac{1+u}{2},\frac v2,1\right).$$ したがって平面 $z=1$ による $T$ の切り口は、中心 $(1/2,0)$、半径 $1/2$ の円盤 $$\displaystyle \left(x-\frac12\right)^2+y^2\le\frac14$$ である。一方、円錐 $S$ の同じ高さの切り口は相似比 $1/2$ より $$\displaystyle x^2+y^2\le\frac14.$$ 境界円の連立から交点は $(1/4,\pm\sqrt3/4)$ となる。二つの切り口を同じ座標平面に描いた図を添付する。

(2) 底面円盤を $B=\{(u,v,0):u^2+v^2\le1\}$、円錐の頂点を $C=(0,0,2)$ とする。$S$ は $B$ と $C$ を結んだ円錐であり、$P$ が $S$ 全体を動くときの線分 $AP$ の掃引領域は $A$, $B$, $C$ の凸包である。高さを $z=2s$（$0\le s\le1$）とする。この高さの断面は、半径 $1-s$ の円盤を、長さ $s$ の線分 $AC$ に平行な方向へ動かした形になる。すなわち、円盤の半径を $r=1-s$ とすると、断面は長さ $s$・幅 $2r$ の長方形と半径 $r$ の半円二つから成り、その面積は $$A(s)=\pi(1-s)^2+2s(1-s).$$ よって $dz=2\,ds$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\int_0^1\left\{\pi(1-s)^2+2s(1-s)\right\}\,ds\\ &=2\left(\frac\pi3+\frac13\right) =\boxed{\frac{2(\pi+1)}3}. \end{aligned}$$