3東京大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) $-1<t\leq1$では，$1+t>0$なので， $$\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)} =3\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\geq0.$$ その平方は $$\displaystyle \left(\frac{y(t)}{x(t)}\right)^2=9\frac{1-t}{1+t},\qquad \frac{d}{dt}\left(9\frac{1-t}{1+t}\right)=-\frac{18}{(1+t)^2}<0.$$ 非負の量の平方が、$t$ が増えると必ず小さくなるから，$y(t)/x(t)$ も $t$ が増えると必ず小さくなる。

(2) 原点から$P$までの距離は $$f(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2} =\sqrt{(1+t)^3+9(1+t)^2(1-t)} =(1+t)\sqrt{10-8t}$$ である（$-1\leq t\leq1$）。$-1<t<1$で $$\displaystyle f'(t)=\sqrt{10-8t}-\frac{4(1+t)}{\sqrt{10-8t}} =\frac{6(1-2t)}{\sqrt{10-8t}}.$$ したがって$f$は$\displaystyle -1\le t\le\frac12$で増加し，$\displaystyle \frac12\le t\le1$で減少する。よって $$\displaystyle \max\limits _{-1\leq t\leq1}f(t)=f\!\left(\frac12\right) =\frac32\sqrt6.$$

(3) 曲線$C$は第1象限にあり，その極角$\phi$は $$\displaystyle \tan\phi=\frac{y(t)}{x(t)} =3\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$$ により$t$とともに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$から$0$へ狭義に減少する。したがって$C$は$\displaystyle 0\le\phi\le\frac{\pi}{2}$を満たす各極角$\phi$に対し原点からの距離$R(\phi)$を一つ定め，$D$は極座標で $$\displaystyle 0\leq r\leq R(\phi),\qquad 0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$$ と表せる。$R$の最大値は(2)より$\displaystyle R_{\max}=\frac{3\sqrt6}{2}$であり，それをとるのは$\displaystyle t=\frac12$，$\displaystyle \phi_*=\frac{\pi}{3}$である。$D$を時計回りに$0$から$\displaystyle \frac{\pi}{2}$まで回転したときの外側境界を$M(\theta)$とすると， $$\displaystyle M(\theta)= \begin{cases} R_{\max}&(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}),\\ R(\theta)&(\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}), \end{cases}$$ また$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq0$では $$\displaystyle M(\theta)= \begin{cases} R(\theta+\frac{\pi}{2})&(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq-\frac{\pi}{6}),\\ R_{\max}&(-\frac{\pi}{6}\leq\theta\leq0). \end{cases}$$ よって極座標による面積は $$\displaystyle S=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}M(\theta)^2\,d\theta =\frac12\left\{\int_0^{\pi/2}R(\phi)^2\,d\phi +\frac{\pi}{2}R_{\max}^2\right\}.$$ ここで，$\phi=\phi(t)$とすると，$-1<t<1$で $$\displaystyle \frac{d\phi}{dt} =-\frac{3}{2(5-4t)\sqrt{1-t^2}},\qquad R(\phi(t))^2=(1+t)^2(10-8t).$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}R(\phi)^2\,d\phi =\int_{-1}^1 3\frac{(1+t)^2}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =3\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{9\pi}{2}.$$ また$\displaystyle R_{\max}^2=\frac{27}{2}$なので， $$\displaystyle S=\frac12\left(\frac{9\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\cdot\frac{27}{2}\right) =\boxed{\frac{45\pi}{8}}.$$