4獨協医科大学 2022年 1日目 数学 第4問解答・解説

(1) 平方根の中身を平方完成すると $$-x^2+6x+23=32-(x-3)^2.$$ したがって定義域は $(x-3)^2\leq32$，すなわち $3-4\sqrt2\leq x\leq3+4\sqrt2$ である。よって $$\text{ア}=3,\quad\text{イ}=4,\quad\text{ウ}=2,\quad\text{エ}=3,\quad\text{オ}=4,\quad\text{カ}=2.$$ $u=x-3$ とおくと，定義域の内側で $$\displaystyle f'(x)=1-\frac{u}{\sqrt{32-u^2}}.$$ $u<0$ では $f'(x)>0$。また $0\leq u<4$ では $u<\sqrt{32-u^2}$ より $f'(x)>0$，$4<u<4\sqrt2$ では $u>\sqrt{32-u^2}$ より $f'(x)<0$。したがって $x=7$（$u=4$）で最大となり， $$f(7)=6+\sqrt{16}=10.$$ よって $\text{キ}=7$，$\text{クケ}=10$。

(2) $C$ と $y=x-1$ の交点では $\sqrt{32-(x-3)^2}=0$ だから， $$\alpha=3-4\sqrt2,\qquad \beta=3+4\sqrt2.$$ 区間内で $f(x)-(x-1)=\sqrt{32-(x-3)^2}\geq0$。従って $S$ は半径 $4\sqrt2$ の半円の面積であり， $$\displaystyle S=\frac12\pi(4\sqrt2)^2=16\pi.$$ よって $\text{コサ}=32$，$\text{シ}=3$，$\text{スセ}=16$。

(3) $$\displaystyle f(-1)=-2+\sqrt{16}=2,\qquad f'(-1)=1-\frac{-4}{4}=2.$$ したがって接線は $\ell:y-2=2(x+1)$，すなわち $y=2x+4$ であり，$\text{ソ}=2$，$\text{タ}=4$。

(1)より $C$ の最高点は $(7,10)$ である。また $\ell$ と $y=10$ の交点は $(3,10)$，$C$ と $\ell$ の接点は $(-1,2)$ である。$-1\leq x\leq3$ では $x+5>0$ かつ $$(x+5)^2-\{32-(x-3)^2\}=2(x+1)^2\geq0$$ だから $\ell\geq f$。$3\leq x\leq7$ では $f(x)\leq10$。従って $$\displaystyle T=\int_{-1}^{3}\{(2x+4)-f(x)\}\,dx+\int_{3}^{7}\{10-f(x)\}\,dx =48-\int_{-1}^{7}\sqrt{32-(x-3)^2}\,dx.$$ 最後の積分は，中心 $(3,0)$，半径 $4\sqrt2$ の円の上半円のうち $x= -1$ から $x=7$ までの部分の面積である。端点は $(-1,4),(7,4)$ で，中心から端点への半径は直交する。したがって弦の上の部分は中心角90度の扇形から底辺8，高さ4の三角形を除いた面積 $8\pi-16$ である。弦の下の長方形の面積は $8\cdot4=32$ なので $$\displaystyle \int_{-1}^{7}\sqrt{32-(x-3)^2}\,dx=32+(8\pi-16)=16+8\pi.$$ よって $$T=48-(16+8\pi)=32-8\pi.$$ 従って $\text{チツ}=32$，$\text{テ}=8$。