24自治医科大学 2017年 数学 第24問解答・解説

円 $C:x^2+y^2=4$ と直線 $y=k$ の交点では $x^2=4-k^2$ である。異なる2点で交わる条件と $k>0$ より $0<k<2$。$u=\sqrt{4-k^2}$ とおけば $P=(-u,k),\ S=(u,k)$ であり，$PS=2u$，$QR=4$ である。四角形 $PQRS$ は高さ $k$ の台形だから，その面積を $A(k)$ とすると $$\displaystyle A(k)=\frac{PS+QR}{2}k=k\bigl(\sqrt{4-k^2}+2\bigr).$$ 最大値を調べるため $q=\sqrt{4-k^2}$ とおくと $q>0$ であり， $$\displaystyle A'(k)=2+q-\frac{k^2}{q}=\frac{2q+q^2-(4-q^2)}{q}=\frac{2(q+2)(q-1)}{q}.$$ $q>1$ は $0<k<\sqrt{3}$ と同値で，この範囲では $A'(k)>0$。また $\sqrt{3}<k<2$ では $0<q<1$ なので $A'(k)<0$。よって $A(k)$ は $k=\sqrt{3}$ で最大となる。このとき $$\displaystyle M=A(\sqrt{3})=\sqrt{3}(1+2)=3\sqrt{3},\qquad \frac{M}{\sqrt{3}}=3.$$