10自治医科大学 2017年 数学 第10問解答・解説

点 $P$ の座標を $(x,y)$、点 $Q$ の座標を $(u,v)$ とおく。$P$ は $A(3,2)$ と $Q$ の中点だから $$u=2x-3,\qquad v=2y-2$$ である。これを $Q$ が乗る円の方程式に代入すると $$(2x-3)^2+(2y-2)^2+4(2x-3)-2(2y-2)+1=0,$$ すなわち $$\displaystyle x^2+y^2-x-3y+\frac32=0.$$ 平方完成して $$\displaystyle \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac32\right)^2=1$$ を得る。逆に、この式を満たす点 $P$ に対して $Q=(2x-3,\,2y-2)$ と定めれば、代入計算を逆にたどって $Q$ は円 $C$ 上にある。したがって、これは点 $P$ の軌跡全体を表し、その半径は $1$ である。よって $$\displaystyle S=\pi\cdot 1^2=\pi,\qquad \frac{7S}{\pi}=7.$$ したがって答えは $7$（選択肢㋳）である。