21自治医科大学 2017年 数学 第21問解答・解説

$x^2+1>0$ なので、$f(x)$ はすべての実数で定義される。商の微分より $$\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2+1)-2x(x-1)}{(x^2+1)^2} =\frac{2-(x-1)^2}{(x^2+1)^2}.$$ 分母は常に正であり、分子は $x=1\pm\sqrt2$ で零となる。よって $f$ は $$x<1-\sqrt2\ \text{で減少},\quad 1-\sqrt2<x<1+\sqrt2\ \text{で増加},\quad x>1+\sqrt2\ \text{で減少}$$ する。また $\displaystyle \lim\limits _{x\to\pm\infty}f(x)=0$ であるから、全体の最小値と最大値はそれぞれ $x=1-\sqrt2$ と $x=1+\sqrt2$ でとる。値を計算すると $$\displaystyle m=f(1-\sqrt2)=\frac{-\sqrt2}{4-2\sqrt2} =-\frac{\sqrt2+1}{2},\qquad M=f(1+\sqrt2)=\frac{\sqrt2}{4+2\sqrt2} =\frac{\sqrt2-1}{2}.$$ したがって $$\displaystyle |4Mm| =\left|4\cdot\frac{\sqrt2-1}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt2+1}{2}\right)\right| =|-(2-1)|=1.$$ 求める値は $1$（選択肢㋕）である。