1筑波大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 2つのグラフの差は$$\displaystyle \left(\frac13ax^2-2a^2x+\frac73a^3\right)-\left(-\frac23ax^2+2a^2x-\frac23a^3\right)=a(x-a)(x-3a).$$ よって交点の $x$ 座標は $a,3a$ である。各式へ代入すると$$\displaystyle A=\left(a,\frac23a^3\right),\qquad B=\left(3a,-\frac23a^3\right).$$

(2) $AB$ の傾きは $\displaystyle -\frac23a^2$、中点は $M=(2a,0)$ だから、これに垂直で $M$ を通る直線の傾きは $\displaystyle \frac{3}{2a^2}$ である。したがって$$\displaystyle \ell:\quad y=\frac{3}{2a^2}(x-2a)=\frac{3x}{2a^2}-\frac3a.$$

(3) $\ell$ を $3x-2a^2y-6a=0$ と書けるので、原点からの距離は$$\displaystyle d=\frac{6a}{\sqrt{9+4a^4}}.$$ $a>0$ に対して$$\displaystyle d'(a)=\frac{6(9-4a^4)}{(9+4a^4)^{3/2}}.$$ よって $d$ は $\displaystyle 0<a<\sqrt{\frac32}$ で増加し、$\displaystyle a>\sqrt{\frac32}$ で減少する。最大となるのは $4a^4=9$、すなわち $\displaystyle a=\sqrt{\frac32}$ のときであり、$$\displaystyle d_{\max}=\frac{6\sqrt{3/2}}{\sqrt{18}}=\sqrt3.$$