6筑波大学 2017年 数学 第6問解答・解説

各点の偏角を反時計回り順に $$\theta_1<\theta_2<\theta_3<\theta_4<\theta_5<\theta_1+2\pi$$ とし、隣り合う点の偏角差を $\delta_1,\ldots,\delta_5>0$ とする。特に $\delta_1=\theta_2-\theta_1$、$\delta_5=\theta_1+2\pi-\theta_5$ である。

単位円の弦の表示から $$\displaystyle \frac{w_2-w_1}{w_5-w_1} =\frac{\sin(\delta_1/2)}{\sin(\delta_5/2)}e^{i(\theta_2-\theta_5)/2}.$$ 条件 (I) よりこの比の2乗は $-\tan^2a$ である。比の偏角 $(\theta_2-\theta_5)/2$ は $(-\pi,0)$ にあるので、比は $-i\tan a$ となる。従って $$\theta_5-\theta_2=\pi.$$

(1) これより $P_2P_5$ は直径である。円周角の定理（またはタレスの定理）から $$\displaystyle \boxed{\angle P_5P_1P_2=\frac\pi2}.$$

(2) 方程式 $z^2-\sqrt3z+1=0$ の根は $e^{i\pi/6}$ と $e^{-i\pi/6}$ である。(II) と頂点の順序より $$\displaystyle \theta_3-\theta_2=\frac\pi6.$$ また $w_4/w_2$ は $e^{i5\pi/6}$ または $e^{i7\pi/6}$ であるが、$P_3,P_4,P_5$ の順に並び $\theta_5-\theta_2=\pi$ だから $\theta_4-\theta_2=5\pi/6$ でなければならない。従って $$\displaystyle \delta_2=\frac\pi6,\quad \delta_3=\frac{2\pi}{3},\quad \delta_4=\frac\pi6.$$ さらに、上の弦の比の絶対値より $$\displaystyle \frac{\sin(\delta_1/2)}{\sin(\delta_5/2)}=\tan a.$$ $\theta_5-\theta_2=\pi$ から $\delta_1+\delta_5=\pi$ なので、$\sin(\delta_5/2)=\cos(\delta_1/2)$。よって $\tan(\delta_1/2)=\tan a$。両角は $(0,\pi/2)$ にあるから $$\delta_1=2a,\qquad\delta_5=\pi-2a.$$ 原点から五角形を三角形に分けた面積は、単位円の中心角 $\delta_j$ に対応する三角形の面積 $\displaystyle \frac12\sin\delta_j$ の和である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac12\left(\sin2a+\sin\frac\pi6+\sin\frac{2\pi}{3}+\sin\frac\pi6+\sin(\pi-2a)\right)\\ &=\boxed{\sin2a+\frac12+\frac{\sqrt3}{4}}. \end{aligned}$$

(3) 全点を $\overline{w_1}$ 倍しても $R$ と面積は変わらないので $w_1=1$ としてよい。各偏角は $$\displaystyle 0,\quad 2a,\quad 2a+\frac\pi6,\quad 2a+\frac{5\pi}{6},\quad 2a+\pi.$$ 従って $$\begin{aligned} w_1+w_2+w_3+w_4+w_5 &=1+e^{2ia}\left(1+e^{i\pi/6}+e^{i5\pi/6}+e^{i\pi}\right)\\ &=1+ie^{2ia}, \end{aligned}$$ したがって $$R^2=|1+ie^{2ia}|^2=2-2\sin2a.$$ これと (2) の結果を合わせれば $$\displaystyle \boxed{R^2+2S=3+\frac{\sqrt3}{2}},$$ となり、$a$ によらない。