5筑波大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1) $0\le n\le N$ より $\displaystyle N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\ge0$。線分は縦線 $x=n$ 上で $y=0$ から $\displaystyle y=N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)$ までを含む。したがって格子点の $y$ 座標は $\displaystyle 0,1,\ldots,\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]$ であり、その個数は $$\displaystyle \left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]+1$$ である。

(2) 領域内の格子点は、各整数 $n=0,1,\ldots,N$ について $x=n$、$0\le y\le n$ を満たす。よって $$\displaystyle A(N)=\sum\limits _{n=0}^{N}(n+1)=\frac{(N+1)(N+2)}2.$$

(3) 各整数 $n=0,1,\ldots,N$ に対して曲線の高さは $\displaystyle N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)$ なので $$\displaystyle B(N)=\sum\limits _{n=0}^{N}\left(\left[N\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)\right]+1\right).$$ ガウス記号の誤差は各項で1未満だから $$\displaystyle B(N)=N\sum\limits _{n=0}^{N}\sin\left(\frac{\pi n}{2N}\right)+O(N).$$ 従って、連続関数のリーマン和より $$\displaystyle \lim\limits _{N\to\infty}\frac{B(N)}{N^2} =\int_0^1\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\,dt =\frac2\pi.$$ 一方 $$\displaystyle \lim\limits _{N\to\infty}\frac{A(N)}{N^2}=\frac12.$$ ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{N\to\infty}\frac{B(N)}{A(N)}=\frac{2/\pi}{1/2}=\frac4\pi.$$