筑波大学 2017年数学第3問解答・解説

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1問題

筑波大学2017年度第3問

数列 $\{a_{n}\}$ が

$a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ a_{n+2}=3\ a_{n+1}^{2}-6\ a_{n+1}a_{n}+3\ a_{n}^{2}+a_{n+1}(n=1,2,\cdots)$ を満たすとする。また, $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}(n=1,2,\cdots)$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) $b_{n} \geq 0 (n = 1, 2, \cdots)$ を示せ。

(2) $b_{n}(n=1,2,\cdots)$ の一の位の数が 2 であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。

(3) $a_{2017}$ の一の位の数を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) b_n≥0$ （n≧1）。 $(2) b_n$ の一の位は2（n≧1）。 $(3) a_{2017}$ の一の位は3。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

与えられた漸化式を整理すると $a_{n+2}=3(a_{n+1}-a_n)^2+a_{n+1}, \qquad b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=3b_n^2, \qquad b_1=a_2-a_1=2.$ また、 $a_1,a_2$ は整数で、漸化式は整数係数の式だから帰納的にすべての $a_n,b_n$ は整数である。

(1) $b_1=2\ge0$ 。 $b_n\ge0$ なら $b_{n+1}=3b_n^2\ge0$ 。よって帰納法により全ての $n\ge1$ で $b_n\ge0$ 。

(2) $b_1\equiv2\pmod{10}$ 。 $b_n\equiv2\pmod{10}$ と仮定すると $b_{n+1}=3b_n^2\equiv3\cdot2^2=12\equiv2\pmod{10}.$ 従って帰納法により、全ての $n\ge1$ で $b_n$ の一の位は $2$ 。

(3) $a_{n+1}=a_n+b_n$ を足し合わせると $\displaystyle a_{2017}=a_1+\sum\limits _{k=1}^{2016}b_k \equiv1+2016\cdot2=4033\equiv3\pmod{10}.$ よって $a_{2017}$ の一の位は $3$ 。

この問題で使う考え方

漸化式
数学的帰納法

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