4金沢大学 2017年 数学 第4問解答・解説

・ $a_1=3>\sqrt7$ である。$a_n>\sqrt7$ と仮定すると $a_n>0$ であり、 $$\displaystyle a_{n+1}-\sqrt7=\frac12\left(a_n+\frac7{a_n}\right)-\sqrt7=\frac{(a_n-\sqrt7)^2}{2a_n}>0.$$ よって数学的帰納法により、全ての自然数 $n$ で $a_n>\sqrt7$ が成り立つ。

・ 漸化式より $a_{n+1}=(a_n^2+7)/(2a_n)$ だから、 $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-\sqrt7}{a_{n+1}+\sqrt7}=\frac{a_n^2+7-2\sqrt7a_n}{a_n^2+7+2\sqrt7a_n}=\left(\frac{a_n-\sqrt7}{a_n+\sqrt7}\right)^2=b_n^2.$$

・ (1) より $0<b_1=(3-\sqrt7)/(3+\sqrt7)<1$ であり、 $$\displaystyle b_1=\frac{(3-\sqrt7)^2}{9-7}=8-3\sqrt7,\qquad b_n=b_1^{2^{n-1}}\longrightarrow0.$$ $b_n=(a_n-\sqrt7)/(a_n+\sqrt7)$ を $a_n$ について解くと $a_n=\sqrt7(1+b_n)/(1-b_n)$ なので、$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\sqrt7$。 さらに $$\displaystyle a_n-\sqrt7=\frac{2\sqrt7\,b_n}{1-b_n},\qquad \log b_n=2^{n-1}\log b_1,$$ したがって $$\displaystyle 2^{-n}\log(a_n-\sqrt7)=2^{-n}\{\log(2\sqrt7)+2^{n-1}\log b_1-\log(1-b_n)\}\longrightarrow\frac12\log b_1=\frac12\log(8-3\sqrt7).$$ ここで $b_n\to0$ より $\log(1-b_n)\to0$ を用いた。