2金沢大学 2017年 数学 第2問解答・解説

直線 $l$ は $OP$ の傾き $t$ に垂直で $O$ を通るから $\displaystyle y=-\frac xt$。直線 $PA$ の傾きは $\displaystyle \frac{t^2-a}{t}$ であり、両傾きの差は $\displaystyle \frac{t^2+1-a}{t}>0$（$t>0,\ 0<a\le1$）なので交点が一意に存在する。$PA$ の式 $\displaystyle y=a+\frac{(t^2-a)x}{t}$ と $l$ の式を連立すると、$\displaystyle x=-\frac{at}{t^2+1-a},\quad y=\frac{a}{t^2+1-a}$ を得る。 軌跡が $(-1/\sqrt3,1)$ を通るとき、$v=1$ より $t^2+1-a=a$、すなわち $t^2=2a-1$。さらに $u=-1/\sqrt3$ かつ $v=1$ より $u=-t$ なので $t=1/\sqrt3$。したがって $a=(1+t^2)/2=2/3$ であり、この値は $0<a\le1$ を満たす。 $a=2/3$ を代入すると $\displaystyle u=-\frac{2t}{1+3t^2},\quad v=\frac2{1+3t^2}$。ゆえに $3u^2+(v-1)^2=1$。$t>0$ より $u<0$ である。逆にこの楕円上で $u<0$ なら $0<v<2$ であり、$t=-u/v>0$ とおくと楕円の式から $\displaystyle 3t^2=\frac{2-v}{v}$、したがって $1+3t^2=2/v$ となるため上の媒介表示を満たす。よって軌跡は左半周全体であり、$u=0$ となる両端 $(0,2),(0,0)$ は $t>0$ の有限値では得られないので除く。