3金沢大学 2017年 数学 第3問解答・解説

数学確認 $s=\sin x$ とおけば $0\le s\le1$ であり $$\displaystyle f(x)-g(x)=2s^2-as+1 =2\left(s-\frac a4\right)^2+1-\frac{a^2}{8}.$$ $0<a<3$ では頂点 $a/4$ は区間内なので、全域で $f\ge g$ となる条件は $1-a^2/8\ge0$、すなわち $0<a\le2\sqrt2$。

共有点は $2s^2-as+1=0$ の根に対応する。$a=2\sqrt2$ のとき $s=\sqrt2/2$ の重解から $x=\pi/4,3\pi/4$ の2点。$2\sqrt2<a<3$ では2根がともに $0<s<1$ の範囲にあり、各根が2つの $x$ を与えるため共有点は4つ。したがって「ちょうど2つ」の条件では $a=2\sqrt2$ のみ。

このとき $f-g=2(\sin x-\sqrt2/2)^2\ge0$、交点間の面積は $$\displaystyle S=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}(f-g)\,dx =2\left(\frac\pi4+\frac12\right)-4+\frac\pi2 =\pi-3.$$

(2)の概形。2曲線を同じ座標平面に示す。青い部分は(3)で面積を求める領域である。