1金沢大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 6乗根と図示 $$z^6=-27=27(\cos\pi+i\sin\pi)$$ より、6乗根は $$\displaystyle z=\sqrt3\left(\cos\left(\frac\pi6+\frac{k\pi}3\right)+i\sin\left(\frac\pi6+\frac{k\pi}3\right)\right),\quad k=0,1,2,3,4,5.$$ 偏角順では $$\displaystyle \begin{aligned} z_1&=\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i,& z_2&=\sqrt3i,& z_3&=-\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i,\\ z_4&=-\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i,&z_5&=-\sqrt3i,&z_6&=\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned}$$ これらは原点中心・半径 $\sqrt3$ の円周上の正六角形の頂点である。

(2) 共線性 $$\displaystyle z_1z_2=\left(\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\sqrt3i=-\frac32+\frac{3\sqrt3}{2}i.$$ したがって $$\displaystyle z_1+z_1z_2=2\sqrt3i=2z_2, \qquad z_2=\frac{z_1+z_1z_2}{2}.$$ よって点 $z_2$ は点 $z_1$ と点 $z_1z_2$ の中点であり、3点は一直線上にある。