21自治医科大学 2015年 数学 第21問解答・解説

関数を展開して、$t$ に関する二次式として見る。 $$\displaystyle \begin{aligned} f(t) &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\,dx -2t\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos x\,dx +t^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x\,dx. \end{aligned}$$ 部分積分と二倍角の公式より、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos x\,dx &=\left[x\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} -\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx =\frac{\pi}{2}-1,\\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x\,dx &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx =\frac{\pi}{4}. \end{aligned}$$ $\displaystyle K=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\,dx$、$\displaystyle B=\frac{\pi}{2}-1$、$\displaystyle C=\frac{\pi}{4}$ とおくと、$C>0$ であり、 $$\displaystyle f(t)=K-2Bt+Ct^2 =C\left(t-\frac{B}{C}\right)^2+K-\frac{B^2}{C}.$$ したがって、$f(t)$ は $\displaystyle t=\frac{B}{C}$ で最小となるので、 $$\displaystyle a=\frac{\frac{\pi}{2}-1}{\frac{\pi}{4}}=2-\frac{4}{\pi}.$$ $2<\pi<4$ より $\displaystyle 0<2-\frac{4}{\pi}<1$ である。したがって、$a$ を超えない最大の整数は $0$ であり、選択肢は（ア）である。