7信州大学 2007年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle I(a,b)=\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\sin x-b\cos x)^2\,dx.$$ 展開すると $$\displaystyle I(a,b)=\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^2-2ax\sin x-2bx\cos x+a^2\sin^2x+2ab\sin x\cos x+b^2\cos^2x\right)dx.$$ 対称区間上で $x\cos x$ と $\sin x\cos x$ は奇関数なので積分は $0$。また $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{2\pi^3}{3},\qquad \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=[-x\cos x+\sin x]_{-\pi}^{\pi}=2\pi,$$ $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_{-\pi}^{\pi}=\pi, \qquad \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]_{-\pi}^{\pi}=\pi.$$ したがって $$\displaystyle I(a,b)=\frac{2\pi^3}{3}-4\pi a+\pi a^2+\pi b^2 =\pi(a-2)^2+\pi b^2+\frac{2\pi^3}{3}-4\pi.$$ $\pi(a-2)^2\ge 0$、$\pi b^2\ge 0$ であり、両方が同時に $0$ となるのは $a=2,b=0$ のときに限る。よって最小値は $$\displaystyle \frac{2\pi^3}{3}-4\pi=\frac{2\pi}{3}(\pi^2-6)$$ である。