5信州大学 2007年 数学 第5問解答・解説

(1) $r\ne1$ のとき、等比数列の和から $$\displaystyle R_n=\frac{a_2+a_4+\cdots+a_{2n}}{a_1+a_2+\cdots+a_n} =\frac{\sum\limits _{k=1}^{n}cr^{2k}}{\sum\limits _{k=1}^{n}cr^k} =\frac{r}{r+1}(r^n+1).$$ したがって $0<r<1$ なら $R_n\to r/(1+r)$、$r>1$ なら $R_n\to+\infty$。$r=1$ ではすべての項が $c$ なので $R_n=1$。よって極限は $$\displaystyle \begin{cases} \dfrac{r}{1+r},&0<r<1,\\[4pt] 1,&r=1,\\[4pt] +\infty,&r>1 \end{cases}$$ （最後の場合は有限値に収束しない）。

(2) 偶数添字の項は $$\displaystyle a_{2k}=\frac{1}{4k(k+1)} =\frac14\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)$$ だから $$\displaystyle a_2+a_4+\cdots+a_{2n} =\frac14\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right) =\frac{n}{4(n+1)} \longrightarrow\frac14.$$ 一方、 $$\displaystyle \begin{aligned} a_1+a_2+\cdots+a_n &=\frac12\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)\\ &=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right) \longrightarrow\frac34. \end{aligned}$$ 分母和の極限は0でないので、求める極限は $$\displaystyle \frac{1/4}{3/4}=\boxed{\frac13}.$$