3大阪大学 2006年 数学 第3問解答・解説

(1) $y\ne 0,-1,\ldots,-n-1$ とする。$$D=y(y+1)\cdots(y+n+1)$$ を両辺の共通分母として掛けると $$n+1=a(y+n+1)+by=(a+b)y+a(n+1)$$ となる。これは許されるすべての $y$ について成り立つので、係数を比較して $$a+b=0,\qquad a(n+1)=n+1.$$ $n+1\ne0$ より $a=1,\ b=-1$。

(2) $x\ne 0,-1,\ldots,-n$ とする。$n=0$ を自然数に含める場合は両辺とも $1/x$ である。正の自然数を用いる場合の初項 $n=1$ では $$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac1x-\frac1{x+1}$$ となり成立する。以下、$n\ge2$ とし、$n-1$ で等式が成り立つと仮定する。(1) において $n$ を $n-1$ に、$y$ を $x$ に置き換えると $$\displaystyle \frac{n}{x(x+1)\cdots(x+n)}=\frac{1}{x(x+1)\cdots(x+n-1)}-\frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}.$$ これに $(n-1)!$ を掛け、帰納法の仮定を $x$ と $x+1$ に適用すると $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}&=\sum\limits _{r=0}^{n-1}(-1)^r\frac{\binom{n-1}{r}}{x+r}-\sum\limits _{r=0}^{n-1}(-1)^r\frac{\binom{n-1}{r}}{x+r+1}\\ &=\sum\limits _{r=0}^{n-1}(-1)^r\frac{\binom{n-1}{r}}{x+r}-\sum\limits _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}\frac{\binom{n-1}{r-1}}{x+r}. \end{aligned}$$ 範囲外の二項係数を $0$ と約束すれば、二つの和を合わせて $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}&=\sum\limits _{r=0}^{n}(-1)^r\frac{\binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}}{x+r}\\ &=\sum\limits _{r=0}^{n}(-1)^r\frac{\binom{n}{r}}{x+r}. \end{aligned}$$ 最後に $\displaystyle \binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}=\binom{n}{r}$ を用いた。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について示された。