5大阪大学 2006年 数学 第5問解答・解説

$P=(1,t),Q=(u,1),R=(0,v),S=(w,0)$ と置き、正方形の各頂点を $A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1),D=(0,1)$ とする。角はすべて鋭角なので正接を等置できる。 $$\tan\angle APB=1/t,\quad \tan\angle QPC=(1-u)/(1-t)$$ より $u=2-1/t$、従って $1/2<t<1$。次の角条件から $(1-t)/(1-u)=(1-v)/u$ なので $v=1-tu=2(1-t)$。最後の条件より $u/(1-v)=w/v$、従って $w=v/t=2(1-t)/t$。$0<w<1$ を加えると $2/3<t<1$。 直線 $AP$ と直線 $RS$ の交点を $T$、直線 $AP$ と直線 $y=v$ の交点を $E$、直線 $QR$ と直線 $y=t$ の交点を $F$ とすると $T=((1-t)/t,1-t), E=(w,v), F=(1-w,t)$。三角形TRE、平行四辺形REPF、三角形FQPに分ければ $$f(t)=\operatorname{area}(PQRT)=w(2t-1)=6-4t-2/t.$$ $4t+2/t\ge4\sqrt2$（等号は $t=1/\sqrt2$ のとき成立し、$2/3<1/\sqrt2<1$）なので最大値は $6-4\sqrt2$。