1大阪大学 2006年 数学 第1問解答・解説

共有点では $x\sin^2x=x$ であり、$x>0$ だから $\sin^2x=1$、すなわち $\cos x=0$ である。正の解を小さい順に並べると $$\displaystyle a_n=x_{A_n}=\frac{2n-1}{2}\pi,\qquad A_n=(a_n,a_n)\quad(n=1,2,\ldots).$$

(1) 曲線 $y=x\sin^2x$ の導関数は $$y'=\sin^2x+2x\sin x\cos x.$$ $x=a_n$ では $\sin^2a_n=1$、$\cos a_n=0$ なので $y'=1$。直線 $y=x$ も傾き1で、両者は $A_n$ を通る。したがって $A_n$ で接する。

(2) $a=a_n$、$b=a_{n+1}$ とする。$a\le x\le b$ の範囲で $x>0$ かつ $\sin^2x\leq1$ より $x\sin^2x\leq x$。したがって面積は $$\displaystyle S_n=\int_a^b (x-x\sin^2x)\,dx=\int_a^b x\cos^2x\,dx.$$ 倍角公式より $\cos^2x=(1+\cos2x)/2$ であり、部分積分から $$\displaystyle \int x\cos^2x\,dx=\frac{x^2}{4}+\frac{x\sin2x}{4}+\frac{\cos2x}{8}.$$ 両端では $\sin2a=\sin2b=0$、$\cos2a=\cos2b=-1$。また $b-a=\pi$、$a+b=2n\pi$ だから $$\displaystyle S_n=\frac{b^2-a^2}{4}=\frac{(b-a)(b+a)}4=\boxed{\frac{n\pi^2}{2}}.$$