3筑波大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) 倍角公式 $\displaystyle \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$ から $$\displaystyle I=\int_0^\pi x^2\cos^2x\,dx =\frac12\int_0^\pi x^2\,dx+\frac12\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx.$$ 後半を部分積分すると $$\displaystyle \int_0^\pi x^2\cos2x\,dx=-\int_0^\pi x\sin2x\,dx.$$ さらに $$\displaystyle \int_0^\pi x\sin2x\,dx =\left[-\frac{x}{2}\cos2x+\frac14\sin2x\right]_0^\pi =-\frac{\pi}{2}$$ なので、 $$\displaystyle I=\frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi}{4}.$$

(2) $g(x)=\sin x+x\cos x$ とおけば $f'(x)=1+ag(x)$、$g(x)=(x\sin x)'$。したがって $$\displaystyle \int_0^\pi g(x)\,dx=[x\sin x]_0^\pi=0.$$ さらに $g^2=\sin^2x+x\sin2x+x^2\cos^2x$ だから、 $$\displaystyle \int_0^\pi g^2\,dx=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+I=I=C, \qquad \text{ただし }C=\frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi(2\pi^2+3)}{12}>0.$$ よって $$\displaystyle \int_0^\pi \{f'(x)\}^2\,dx=\pi+a^2C, \qquad \text{一方、}f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{a\pi}{2}+\pi.$$ 求める条件は $$\displaystyle Ca^2-\frac{\pi}{2}a=a\left(Ca-\frac{\pi}{2}\right)\ge0$$ となる。根は $0$ と $$\displaystyle \frac{\pi}{2C}=\frac{6}{2\pi^2+3}$$ で、上に開く二次式なので、解は $$\displaystyle a\le0\quad\text{または}\quad a\ge\frac{6}{2\pi^2+3}.$$ 両端を含む。