2筑波大学 2007年 数学 第2問解答・解説

【用語の解釈】原文で底が指定されていない $\log b$ は、自然対数 $\ln b$ と解釈します。別の底 $c>1$ を採ると式と求める極限が変わるため、以下は自然対数の解釈に基づく解説です。

$$\displaystyle \begin{aligned} &\text{記法の仮定（原文に底の明記なし）：本解説では }\log b=\ln b\text{ と読む。}\\ &t=e^{ax}>0:\quad f(x)\ge0\quad\text{すなわち}\quad t+\frac1t\le b+\frac1b\&\quad\text{すなわち}\quad t^2-\left(b+\frac1b\right)t+1\le0\quad\text{すなわち}\quad (t-b)\left(t-\frac1b\right)\le0\&\quad\text{すなわち}\quad \frac1b\le e^{ax}\le b\quad\text{すなわち}\quad -\frac{\log b}{a}\le x\le\frac{\log b}{a}.\&L=\frac{\log b}{a},\qquad V=\pi\int_{-L}^{L}\left(b+\frac1b-e^{ax}-e^{-ax}\right)dx\&=\pi\left(2L\left(b+\frac1b\right)-\frac{2}{a}\left(b-\frac1b\right)\right)=\frac{2\pi}{a}\left\{\left(b+\frac1b\right)\log b-\left(b-\frac1b\right)\right\}.\&a=b\log b\quad\text{ならば}\quad V(b)=\frac{2\pi}{b\log b}\left\{\left(b+\frac1b\right)\log b-\left(b-\frac1b\right)\right\}\&=2\pi\left(1-\frac1{\log b}+\frac1{b^2}+\frac1{b^2\log b}\right)\longrightarrow2\pi.\\ &\text{別底 }c>1\text{ と読む場合は }a=b\frac{\ln b}{\ln c}\text{ となり、同じ計算の極限は }2\pi\ln c\text{ である。}\\ &\text{したがって原問の }2\pi\text{ は }\log b=\ln b\text{ と読む条件の下での結論である。}\\ \end{aligned}$$