4筑波大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) $a_n=an^3+bn^2+cn$ を用いると、 $$a_{n+1}-a_n=a\{(n+1)^3-n^3\}+b\{(n+1)^2-n^2\}+c\{(n+1)-n\} =3an^2+(3a+2b)n+(a+b+c).$$ これがすべての正整数 $n$ について $n^2$ に等しいので、係数を比較して $$3a=1,\qquad 3a+2b=0,\qquad a+b+c=0.$$ よって $\displaystyle a=\frac13, b=-\frac12, c=\frac16$、したがって $$\displaystyle a_n=\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac n6=\frac{n(n-1)(2n-1)}6.$$

(2) (1)より $k^2=a_{k+1}-a_k$ であるから、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2=\sum\limits _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1.$$ $a_1=0$ なので、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2=a_{n+1}=\frac{(n+1)n(2n+1)}6=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$$

(3) $\displaystyle T=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ とおく。二乗を展開すると各異なる2数の積は2回ずつ現れるので、 $$\displaystyle T^2=\sum\limits _{k=1}^{n}k^2+2S(n).$$ (2)を用いて整理すれば、 $$\displaystyle \begin{aligned} S(n)&=\frac12\left\{\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}6\right\}\\ &=\frac{n(n+1)}{24}\{3n(n+1)-2(2n+1)\}\\ &=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}\\ &=\frac{3n^4+2n^3-3n^2-2n}{24}. \end{aligned}$$ これは $n$ の4次式である。