3富山大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) $A=kE$ と仮定すると，条件から $k^3-3k+2=(k-1)^2(k+2)=0$。 従って $k=1$ または $-2$ である。$k=1$ は $a+d=2$ に反し，$k=-2$ は $A\ne-2E$ に反する。よって $A$ は $E$ の実数倍ではない。

(2) $t=a+d$，$\delta=ad-bc$ とおく。行列積を成分で計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix} =tA-\delta E.$$ 従って $A^3=(t^2-\delta)A-t\delta E$ であり，与式は $$(t^2-\delta-3)A+(2-t\delta)E=O.$$ ここで $uA+vE=O$ なら，$u\ne0$ の場合 $A=-(v/u)E$ となり(1)に反する。よって $u=v=0$ である。このことを上式に適用して $$\delta=t^2-3,\qquad t\delta=2.$$ 従って $t^3-3t-2=(t-2)(t+1)^2=0$。条件 $t\ne2$ より $$\boxed{a+d=-1,\qquad ad-bc=-2}.$$

(3) (2)の成分計算から $A^2+A=2E$。従って左右いずれから掛けても $A(A+E)/2=(A+E)A/2=E$ であり，$A^{-1}=(A+E)/2$。 まず $p_1=q_1=1/2$。また $$\displaystyle \begin{aligned} (A^{-1})^{n+1}&=(p_nA+q_nE)\frac{A+E}{2}\\ &=\frac{q_n}{2}A+\left(p_n+\frac{q_n}{2}\right)E. \end{aligned}$$ (1)により係数表示は一意なので $$p_{n+1}=q_n/2,\qquad q_{n+1}=p_n+q_n/2.$$ この漸化式は全 $n$ に対する係数の存在も帰納的に示す。従って $r_{n+1}=p_n-q_n/2=-r_n/2$，$r_1=-1/2$ より $$\boxed{r_n=(-1/2)^n}.$$

(4) 上の漸化式より $p_{n+1}+q_{n+1}=p_n+q_n$。初項の和が1なので $p_n+q_n=1$。 これと $q_n-2p_n=(-1/2)^n$ を連立して $$\displaystyle \boxed{q_n=\frac{2+(-1/2)^n}{3}}.$$ 以上は行列の基本積と係数比較だけを使い，固有値や対角化は用いていない。