1富山大学 2013年 数学 第1問解答・解説

$c=\cos t$, $s=\sin t$ とおくと、 $$\Delta x=(1+2t)-(-1)=2(1+t)>0,\qquad \Delta y=\{(1+t)c+s\}-\{-(1+t)c+s\}=2(1+t)c.$$ したがって直線 $\ell_t$ の傾きは $c$ であり、点 $B$ を通ることから $$y-\{-(1+t)c+s\}=c(x+1),$$ すなわち $$\ell_t:\quad y=(x-t)\cos t+\sin t.$$

(2) $x=k$ とおいたときの交点の $y$ 座標を $$F_k(t)=(k-t)\cos t+\sin t$$ とする。微分すると $$F_k'(t)=-\cos t-(k-t)\sin t+\cos t=(t-k)\sin t.$$ 区間 $0\le t\le\pi/2$ では $\sin t\ge0$ である。よって、$k\le0$ なら $F_k$ は増加し、端点値 $F_k(0)=k$, $F_k(\pi/2)=1$ から範囲は $k\le y\le1$。$0\le k\le\pi/2$ なら $t=k$ で最小値 $F_k(k)=\sin k$ をとり、最大値は端点値の大きい方 $\displaystyle \max\{k,1\}$。$k\ge\pi/2$ なら $F_k$ は減少し、範囲は $1\le y\le k$。したがって $$\displaystyle \begin{cases} k\le y\le1 &(k\le0),\\ \sin k\le y\le\max\{1,k\} &(0\le k\le\pi/2),\\ 1\le y\le k &(k\ge\pi/2). \end{cases}$$

(3) 各 $x$ に対して (2) の範囲を縦に並べれば、通りうる領域は $$\displaystyle \begin{cases}x\le y\le1 &(x\le0),\\\sin x\le y\le\max\{1,x\} &(0\le x\le\pi/2),\\1\le y\le x &(x\ge\pi/2).\end{cases}$$ 各 $F_x(t)$ は $t$ の連続関数なので、各縦断面は端点を含む区間であり、その間に抜けはない。図では、下側境界 $y=x\ (x\le0)$、$y=\sin x\ (0\le x\le\pi/2)$、$y=1\ (x\ge\pi/2)$ と、上側境界 $y=1\ (x\le1)$、$y=x\ (x\ge1)$ に囲まれる部分を塗ればよい。