2富山大学 2013年 数学 第2問解答・解説

数学確認 $k$ を固定し、与式を $x$ で微分すると、両端の微分から $$\displaystyle g(x)=\frac12\{g(x)+2f(k)\}+\frac{x}{2}g'(x),$$ よって $g(x)=2f(k)+xg'(x)$。これを用いて $$\displaystyle \left(\frac{g(x)}x\right)'=-\frac{2f(k)}{x^2}\qquad(x\ne0).$$ したがって $((g(x)-2f(k))/x)'=0$ は $x>0$、$x<0$ の各区間で成り立つ。それぞれの積分定数は、$g$ が0で微分可能であることから一致するので $g'$ は全実数で定数。

$g$ は偶関数でもあるため、その定数導関数は奇関数でなければならず $g'\equiv0$。定義から $g'(x)=f'(k+x)-f'(k-x)$ なので (4) の等式が従う。任意の $u,v$ に $k=(u+v)/2,\ x=(u-v)/2$ を代入すれば $f'(u)=f'(v)$。よって $f'$ は定数であり、$f(x)=ax+b$。非定数条件から $a\ne0$。