1帝京大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1)(i) 平方完成すると $$y=-2x^2-8x+3=-2(x+2)^2+11.$$ 頂点の $x=-2$ は$-3\leq x\leq2$ の範囲内にあるので最大値は $11$。端点では $y(-3)=9, y(2)=-21$ だから最小値は $-21$ である。 $$\boxed{\text{ア}=11,\ \text{イ}=-2,\ \text{ウ}=-21,\ \text{エ}=2}.$$

(i)(ii) については $$\displaystyle y=-\frac12x^2-2x+1=-\frac12(x+2)^2+3.$$ 頂点 $x=-2$ は$-2\leq x\leq1$ の範囲の端点なので最大値は $3$。もう一方の端点の値は $\displaystyle y(1)=-\frac32$ であり、最小値は $\displaystyle -\frac32$ である。 $$\displaystyle \boxed{\text{オ}=3,\ \text{カ}=-2,\ \text{キ}=-\frac32,\ \text{ク}=1}.$$

(2) 面 $OAB,OBC,OCA$ を辺 $OB,OC$ で順に展開する。展開図上で $$O=(0,0),\quad B=(2,0),\quad A=(1,\sqrt3),\quad C=(1,-\sqrt3)$$ とおくと、最後の面に移した点は $A'=(-1,-\sqrt3)$、その中点 $M'$ は $(0,-\sqrt3)$ である。折れ線 $A\to P\to Q\to M'$ の長さは、一直線上にあるときに最小となる。線分 $AM'$ は辺 $OB$ と $OC$ をそれぞれ $$\displaystyle P=\left(\frac12,0\right),\qquad Q=\left(\frac13,-\frac{\sqrt3}{3}\right)$$ で横切る。これらは各辺上にあり、順序も $A,P,Q,M'$ である。したがって $$AP+PQ+QM=AM'=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt3+\sqrt3)^2}=\sqrt{13}.$$ また一直線上の各区間の比は、$A$ から $M'$ へのパラメータが $\displaystyle 0,\frac12,\frac23,1$ となることから $$\displaystyle AP:PQ:QM=\frac12:\frac16:\frac13=3:1:2.$$ 元の正四面体で $\displaystyle OP=\frac12,\ OQ=\frac23,\angle POQ=60^\circ$ なので $$\displaystyle [OPQ]=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac23\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{12}.$$ よって $\displaystyle \boxed{\text{ア}=\sqrt{13},\ \text{イ}=3,\ \text{ウ}=2,\ \text{エ}=\frac{\sqrt3}{12}}$。

(3) $t\le1$ では $(t+1)|t-1|=1-t^2$、$t>1$ では $(t+1)|t-1|=t^2-1$ である。よって $$\displaystyle F(x)=\begin{cases} 3\displaystyle\int_0^x(1-t^2)\,dt=-x^3+3x &(x\le1),\\[2mm] 3\left(\displaystyle\int_0^1(1-t^2)\,dt+\displaystyle\int_1^x(t^2-1)\,dt\right)=x^3-3x+4 &(x>1). \end{cases}$$ $x\le1$ では $F'(x)=3(1-x^2)$ だから、$x=-1$ で減少から増加に変わり、最小値 $F(-1)=-2$ をとる。$x>1$ では $F'(x)=3(x^2-1)>0$ なので増加し、さらに両端で $F(x)\to+\infty$ である。したがってこれが全体での最小値である。 $$\boxed{\text{ア}=1,\ \text{イ}=-1,\ \text{ウ}=3,\ \text{エ}=1,\ \text{オ}=-3,\ \text{カ}=4,\ \text{キ}=-1,\ \text{ク}=\text{小},\ \text{ケ}=-2}.$$