帝京大学 2001年数学第3問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

帝京大学2001年度第3問

次の空欄にあてはまる数を求め、解答のみを解答欄に記入しなさい。

$x$ の2次方程式 $2x^2-kx+k+4=0$ が2つの整数解をもつような $k$ の値およびそのときの整数解を求めると、 $k$ の値の小さい方から順に、 $k=\boxed{\text{ア}}$ のときの整数解は $\boxed{\text{イ}}$ であり、 $k=\boxed{\text{ウ}}$ のときの整数解は $\boxed{\text{エ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

解を整数 m,n と置き、解と係数の関係で条件を因数分解して整数因数の組を列挙する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$k=-4:\space{}x=-2,0;\qquad k=12:\space{}x=2,4.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

整数解を $m,n$ とする。解と係数の関係から $\displaystyle m+n=\frac{k}{2},\qquad mn=\frac{k+4}{2}.$ これらを引くと $mn-m-n=2$ である。したがって $(m-1)(n-1)=3.$ 整数の組 $(m-1,n-1)$ は $(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)$ に限られる。このうち根の順序を入れ替えたものをまとめると、 $(m,n)=(2,4)\quad\text{または}\quad(m,n)=(0,-2).$ 前者では $k=2(m+n)=12$ 、後者では $k=2(m+n)=-4$ 。小さい順に並べると $\boxed{\text{ア}=-4,\quad \text{イ}=-2,0,\quad \text{ウ}=12,\quad \text{エ}=2,4}.$

この問題で使う考え方

解と係数の関係

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。