帝京大学 2001年数学第6問解答・解説

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1問題

帝京大学2001年度第6問

$xy$ 平面上の原点 $O$ を中心とする半径13の円周上に2点 $A(13,0)$ 、 $B(5,12)$ がある。 $\angle AOB$ の二等分線が円の弧 $AB$ と交わる第1象限の点を $C$ とする。 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ 、 $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおくとき、次の空欄にあてはまる数を求め、解答のみを解答欄に記入しなさい。

(1) ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の内積は $\vec{a}\cdot\vec{b}=\boxed{\text{ア}}$ となる。

(2) ベクトル $\vec{a}+\vec{b}$ の大きさは $|\vec{a}+\vec{b}|=\boxed{\text{イ}}\sqrt{13}$ となる。

(3) ベクトル $\overrightarrow{OC}$ は実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OC}=k(\vec{a}+\vec{b})$ という形に表されるが、実数 $k$ の値を求めると $k=\boxed{\text{ウ}}$ となる。

(4) 点 $C$ の座標は $(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$ となる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

成分計算で内積・大きさを求め、等しい半径ベクトルの和が角の二等分線を向く性質でCを決定する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $65;\quad$ (2) $6;\quad$ (3) $\displaystyle k=\frac{\sqrt{13}}6;\quad$ (4) $C=(3\sqrt{13},2\sqrt{13}).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\vec a=(13,0),\ \vec b=(5,12)$ であり、 $|\vec a|=|\vec b|=13$ 。

(1) $\vec a\cdot\vec b=13\cdot5+0\cdot12=65.$ よって $\boxed{\text{ア}=65}$ 。

(2) $|\vec a+\vec b|=|(18,12)|=\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}.$ よって $\boxed{\text{イ}=6}$ 。

(3) $|\vec a|=|\vec b|$ なので、 $\vec a+\vec b$ は $\angle AOB$ の内角二等分線の方向を向く。点 $C$ はその方向で半径13の円上にあるから $\displaystyle \overrightarrow{OC}=13\frac{\vec a+\vec b}{|\vec a+\vec b|} =\frac{13}{6\sqrt{13}}(\vec a+\vec b) =\frac{\sqrt{13}}6(\vec a+\vec b).$ したがって $\displaystyle \boxed{\text{ウ}=\frac{\sqrt{13}}6}$ 。

(4) 上の式に $\vec a+\vec b=(18,12)$ を代入すると $\displaystyle C=\frac{\sqrt{13}}6(18,12)=(3\sqrt{13},2\sqrt{13}).$ よって $\boxed{\text{エ}=3\sqrt{13},\ \text{オ}=2\sqrt{13}}$ 。

この問題で使う考え方

ベクトルの成分表示
ベクトルの内積
ベクトルの和・差・実数倍
ベクトルによる図形の考察

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