帝京大学 2001年数学第2問解答・解説

指数関数・対数関数

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1問題

帝京大学2001年度第2問

〔選択問題〕以下の5問題中3問題を選択し解答すること。選択した問題については、解答欄左端の選択欄に○を記入すること。

〔2〕次の空欄にあてはまる値または範囲を求め、解答のみを解答欄に記入しなさい。

(1) 不等式 $0.125<0.5^x<1$ を満たす $x$ の値の範囲を求めると、 $\boxed{\text{ア}}$ となる。

(2) 連立方程式 $\left\{\begin{aligned}2^x-13\times2^y&=24,\\\log_3(x+2)-\log_3 y&=1\end{aligned}\right.$ を満たす $x,y$ の値を求めると、 $x=\boxed{\text{イ}}$ 、 $y=\boxed{\text{ウ}}$ となる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

底が1未満の指数関数の単調性と、対数の性質、置換による因数分解で解く。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $0<x<3.\qquad$ (2) $x=7,\space{}y=3.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\displaystyle 0.125=\frac18=(0.5)^3$ であり、底 $0.5$ は $0<0.5<1$ なので、 $0.5^x$ は $x$ の減少関数である。したがって $(0.5)^3<(0.5)^x<(0.5)^0\quad\text{すなわち}\quad 0<x<3.$ よって $\boxed{\text{ア}:0<x<3}$ 。

(2) 対数の真数条件から $x+2>0, y>0$ 。対数の差をまとめると $\displaystyle \log_3\frac{x+2}{y}=1\quad\text{より}\quad x+2=3y,$ すなわち $x=3y-2$ 。ここで $t=2^y$ とおくと $t>0$ で、指数方程式は $\displaystyle 2^{3y-2}-13\cdot2^y=24 \quad\text{すなわち}\quad \frac{t^3}{4}-13t=24 \quad\text{すなわち}\quad (t-8)(t+2)(t+6)=0.$ $t>0$ より $t=8$ 。したがって $2^y=8$ から $y=3$ 、 $x=3y-2=7$ である。 $\boxed{\text{イ}=7,\ \text{ウ}=3}.$

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則
対数とその性質

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