1自治医科大学 2008年 数学 第1問解答・解説

$t=5^x$ とおくと、$t>0$ である。また、$x=\log_5 2$ とすれば $t=2$ となる。 $$\displaystyle 2\cdot5^x+8\cdot5^{-x}-5=2t+\frac{8}{t}-5 =3+\frac{2(t-2)^2}{t}.$$ $t>0$ より $\displaystyle \dfrac{2(t-2)^2}{t}\geq0$ なので、与式は常に3以上である。等号は $t=2$、すなわち $x=\log_5 2$ のときに成立するから、最小値は3である。選択肢の数字3に対応する記号はタである。

検算として $x=\log_5 2$ を代入すると $5^x=2$、$\displaystyle 5^{-x}=\dfrac12$ だから、与式は $\displaystyle 2\cdot2+8\cdot\dfrac12-5=3$ となり、下界に達する。