19自治医科大学 2008年 数学 第19問解答・解説

袋 $A,B,C$ からそれぞれ1個ずつ取り出す試行は独立である。各袋から赤球を取り出す確率と白球を取り出す確率は $$\displaystyle \begin{array}{c|cc} & \text{赤球} & \text{白球}\\ \hline A & \dfrac15 & \dfrac45\\ B & \dfrac14 & \dfrac34\\ C & \dfrac13 & \dfrac23 \end{array}$$ である。

2個以上が赤球となるのは、「ちょうど2個が赤球」の3通りと「3個とも赤球」の場合であり、これらは互いに排反である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} p&=\left(\frac15\cdot\frac14\cdot\frac23\right) +\left(\frac15\cdot\frac34\cdot\frac13\right) +\left(\frac45\cdot\frac14\cdot\frac13\right) +\left(\frac15\cdot\frac14\cdot\frac13\right)\\ &=\frac{2+3+4+1}{60}=\frac16. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle 30p=30\cdot\frac16=5.$$

検算として、0個または1個が赤球となる確率は $$\displaystyle \frac45\cdot\frac34\cdot\frac23 +\frac15\cdot\frac34\cdot\frac23 +\frac45\cdot\frac14\cdot\frac23 +\frac45\cdot\frac34\cdot\frac13 =\frac{24+6+8+12}{60}=\frac56,$$ したがって、その余事象である「2個以上が赤球」の確率も $\displaystyle 1-\frac56=\frac16$ と一致する。