16自治医科大学 2008年 数学 第16問解答・解説

最初の方程式 $x^2+px+q=0$ の解が $\alpha,\beta$ なので、解と係数の関係から $$\alpha+\beta=-p,\qquad \alpha\beta=q$$ である。次の方程式 $x^2-px-q=0$ の解が $\alpha-1,\beta-1$ だから、同じく解と係数の関係を使うと $$(\alpha-1)+(\beta-1)=p,\qquad (\alpha-1)(\beta-1)=-q$$ となる。

和についての式に $\alpha+\beta=-p$ を代入すると $$-p-2=p$$ より $p=-1$ を得る。

積についての式を展開すると $$(\alpha-1)(\beta-1) =\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1 =q+p+1$$ である。これが $-q$ に等しいので $$q+p+1=-q,\qquad 2q=-p-1.$$ $p=-1$ を代入して $q=0$ となる。

検算すると、$p=-1,\ q=0$ のとき最初の方程式は $x(x-1)=0$ で、解は $0,1$。それぞれから $1$ を引いた数は $-1,0$ であり、次の方程式 $x(x+1)=0$ の解と一致する。したがって $$\boxed{q=0}$$ である。共通選択肢では $\boxed{\text{ア}}$ に当たる。