11自治医科大学 2008年 数学 第11問解答・解説

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いると $$\begin{aligned} f(\theta) &=3(\sin^2\theta+\cos^2\theta) +(\sin^2\theta-\cos^2\theta)+6\sin\theta\cos\theta\\ &=3-\cos2\theta+3\sin2\theta. \end{aligned}$$ $\displaystyle \cos\phi=\frac3{\sqrt{10}}$、$\displaystyle \sin\phi=\frac1{\sqrt{10}}$ となる角 $\phi$ をとれば、加法定理より $$-\cos2\theta+3\sin2\theta =\sqrt{10}\sin(2\theta-\phi).$$ したがって $f(\theta)=3+\sqrt{10}\sin(2\theta-\phi)\le3+\sqrt{10}$。等号は $2\theta-\phi=90^\circ$ とすれば成立するから $$M=3+\sqrt{10}.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{(M-3)^2}{2}=\frac{(\sqrt{10})^2}{2}=5.$$ 共通の選択肢では、答えは $\text{ハ}$ である。