9自治医科大学 2008年 数学 第9問解答・解説

与式を移項すると $$a(4\sin\theta-3\cos\theta)=15.$$ したがって $4\sin\theta-3\cos\theta\ne0$ であり、 $$\displaystyle |a|=\frac{15}{|4\sin\theta-3\cos\theta|}.$$ $\displaystyle \tan\phi=\frac34$ となる $0^\circ<\phi<90^\circ$ をとると、三角比より $\displaystyle \cos\phi=\frac45,\ \sin\phi=\frac35$ である。よって $$4\sin\theta-3\cos\theta =5(\sin\theta\cos\phi-\cos\theta\sin\phi) =5\sin(\theta-\phi),$$ ゆえに $|4\sin\theta-3\cos\theta|\le5$。したがって $\displaystyle |a|\ge\frac{15}{5}=3$。 この下限は $\theta=\phi+90^\circ$ とすれば括弧内が $5$ となり、$a=3$ のとき実現する。ゆえに $|a|$ の最小値は $3$ である。共通の選択肢では $\text{タ}$ に当たる。