8自治医科大学 2008年 数学 第8問解答・解説

三角形の内角の和より $$2\theta+3\theta+4\theta=180^\circ, \qquad \theta=20^\circ.$$ 正弦定理により、外接円の半径を $R$ とすると $$a=2R\sin2\theta,\qquad b=2R\sin3\theta,\qquad c=2R\sin4\theta.$$ したがって和積の公式から $$a+c =2R(\sin2\theta+\sin4\theta) =4R\sin3\theta\cos\theta =2b\cos\theta.$$ ここで $b>0$、$\cos20^\circ>0$ なので分母 $b\cos\theta$ は0でない。ゆえに $$\displaystyle \frac{4(a+c)}{b\cos\theta} =\frac{4\cdot2b\cos\theta}{b\cos\theta} =8.$$ 共通の選択肢では、答えは $\text{ラ}$ である。