7自治医科大学 2008年 数学 第7問解答・解説

鋭角三角形なので $H$ は辺 $BC$ 上にある。$h=AH$、$\alpha=\angle BAH$、$\beta=\angle HAC$ とおくと、$h>0$、$\alpha+\beta=45^\circ$ である。直角三角形 $ABH,\ ACH$ より $$\displaystyle \tan\alpha=\frac{BH}{AH}=\frac2h,\qquad \tan\beta=\frac{HC}{AH}=\frac3h.$$ 正接の加法定理を用いると $$\displaystyle 1=\tan45^\circ =\tan(\alpha+\beta) =\frac{\frac2h+\frac3h}{1-\frac6{h^2}} =\frac{5h}{h^2-6}.$$ $\alpha+\beta=45^\circ$ なので加法定理の分母は正であり、上式から $$h^2-5h-6=0,\qquad (h-6)(h+1)=0.$$ $h>0$ より $h=6$。実際、$h=6$ なら $\displaystyle \tan\alpha=\frac13$、$\displaystyle \tan\beta=\frac12$ で、加法定理から $\tan(\alpha+\beta)=1$。両角は正で和は $90^\circ$ 未満だから $\alpha+\beta=45^\circ$ となり、条件に合う。したがって $$AH=6.$$ 共通の選択肢では、答えは $\text{マ}$ である。