東北大学 2007年数学第2問解答・解説

図形と計量三角関数

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1問題

東北大学2007年度第2問

∠Cを直角とする直角三角形ABCに対して, ∠Aの二等分線と線分BCの交点をDとする。また, 線分AD, DC, CAの長さはそれぞれ5, 3, 4とする。∠A = θとおくとき, 次の問いに答えよ。

(1) $\sin\theta$ を求めよ。

(2) $\displaystyle \theta < \frac{5}{12}\pi$ を示せ。ただし, $\sqrt{2} = 1.414\cdots$ , $\sqrt{3} = 1.732\cdots$ を用いてもよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$\triangle ACD$ は直角三角形で， $AD$ が角の二等分線なので $\sin(\theta/2)=3/5,\qquad\cos(\theta/2)=4/5.$ (1) 倍角公式より $\sin\theta=2(3/5)(4/5)=24/25$ 。 (2) 加法定理より $\displaystyle \sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}4 >\frac{1.414(1.732+1)}4=0.965762>\frac{24}{25}.$ $\theta$ と $5\pi/12$ はともに鋭角であり，この範囲では角が大きくなると正弦の値も必ず大きくなる。従って $\theta<5\pi/12$ 。

この問題で使う考え方

三角比と相互関係
三角関数の加法定理
三角関数の周期・グラフ

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