4東北大学 2007年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle K=\int_0^2|f(t)|\,dt$ とおくと、与式は $f(x)=x^2-Kx$、かつ $K\ge0$ となる。従って $$\displaystyle K=\int_0^2|x^2-Kx|\,dx.$$

まず $0\le K\le2$ では $x^2-Kx$ の符号が $0<x<K$ で負、$K<x\le2$ で正なので $$\displaystyle K=\int_0^K(Kx-x^2)\,dx+\int_K^2(x^2-Kx)\,dx =\frac{K^3}{3}-2K+\frac83.$$ 従って $(K-1)(K^2+K-8)=0$。この区間で成り立つのは $K=1$ のみ。

$K\ge2$ では $0\le x\le2$ で $x^2-Kx\le0$ だから $$\displaystyle K=\int_0^2(Kx-x^2)\,dx=2K-\frac83,$$ より $K=8/3$。両方とも仮定した範囲内で、元の積分等式を満たす。したがって $$\displaystyle f(x)=x^2-x\quad\text{または}\quad f(x)=x^2-\frac83x.$$

積分値を非負定数Kと置き、Kの範囲により絶対値の符号変化点を分けた。各区間で積分方程式を解き、得た定数が仮定した区間内にあることを確認した。