3香川大学 2009年 数学 第3問解答・解説

解答 共有点条件は $(x+2)(f(x)-m)=0$, $f(x)=x(x-3)^2$。したがって $x=-2$ が常にあり、別に水平線 $y=m$ と $y=f(x)$ の交点を数える。$f'(x)=3(x-1)(x-3)$、極大値は $f(1)=4$、極小値は $f(3)=0$。$f(x)=m$ の異なる解数は順に $m<0:1$, $m=0:2$, $0<m<4:3$, $m=4:2$, $m>4:1$。$m=-50$ ではその1解が $x=-2$ と一致する。

(1) 共有点数は、$m=-50$で1個、$m<0$かつ$m\ne-50$で2個、$m=0$で3個、$0<m<4$で4個、$m=4$で3個、$m>4$で2個。

(2) 条件に合うのは $m=4$。差は $C-\ell=(x+2)(x-1)^2(x-4)$。共有点は $(-2,0),(1,12),(4,24)$で、$(1,12)$では接し、他の2点で交差する。曲線の導関数は $2(x-3)(2x^2-3)$ なので極値の $x$ 座標は $-\sqrt{3/2},\sqrt{3/2},3$。両端は上向きで、$x=-2,0$で軸を横切り、$x=3$で軸に接する。$x<-2$と$x>4$で曲線が直線より上、$-2<x<4$では直線が上にある（$x=1$で接する）。この情報で概形を描ける。

(3) 曲線と直線で囲まれた部分は $-2\le x\le1$ と $1\le x\le4$ の2つの範囲にある。各部分の面積は $162/5$。合計は $$\displaystyle \int_{-2}^{4}(\ell-C)\,dx=\int_{-2}^{4}(-x^4+4x^3+3x^2-14x+8)\,dx=\boxed{324/5}.$$

編集ラベル - 単元: 数学II「微分法」、数学II「積分法」 - 方法: 導関数の符号による増減・水平線との交点数、因数分解、定積分による面積 - テーマ: パラメータ直線と4次曲線の共有点・面積

陰影は囲まれた2領域。接点$(1,12)$の左右の面積は各$\displaystyle \frac{162}{5}$、合計$\displaystyle \frac{324}{5}$。