3近畿大学 2011年 数学 第3問解答・解説

3 (1) 展開すると $$(x-2a)(x-a-1)=x^2-(3a+1)x+2a^2+2a=f(x).$$ 従って $f(x)=0$ の解は $x=2a$ および $x=a+1$（$a=1$ では重解）である。

(2) $0<\alpha<\beta<4$ で $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ だから、$f$ は $0\le x\le\alpha$ または $\beta\le x\le4$ で非負、$\alpha\le x\le\beta$ で非正である。$F'=f$ より $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^4|f(x)|\,dx &=\int_0^4f(x)\,dx-2\int_\alpha^\beta f(x)\,dx\\ &=F(4)-F(0)+2\{F(\alpha)-F(\beta)\}. \end{aligned}$$ $h=\beta-\alpha$、$x=\alpha+u$ とおけば、$\alpha\le x\le\beta$ の範囲では $f(x)=u(u-h)$ なので $$\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)\,dx =\int_0^h(u^2-hu)\,du =\frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{2}=-\frac{h^3}{6}.$$ ゆえに $$\displaystyle \int_0^4|f(x)|\,dx=F(4)-F(0)+\frac{(\beta-\alpha)^3}{3},$$ 所望の等式を得る。

(3) 原始関数の一つは $$\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3a+1}{2}x^2+(2a^2+2a)x,$$ よって $F(4)-F(0)=8a^2-16a+40/3$。$0<a<1$ では根の順序が $2a<a+1$ で、その差は $1-a$。$1<a<2$ では $a+1<2a$ で、その差は $a-1$。いずれも2根は $0<x<4$ にあるから(2)を適用して $$\displaystyle S(a)=\begin{cases} -\dfrac{a^3}{3}+9a^2-17a+\dfrac{41}{3},&0<a<1,\\[2mm] \dfrac{a^3}{3}+7a^2-15a+13,&1<a<2. \end{cases}$$

(4) 上の式を平方・立方でまとめると $$\displaystyle S(a)=\begin{cases} \dfrac{16}{3}+8(1-a)^2+\dfrac{(1-a)^3}{3},&0<a<1,\\[2mm] \dfrac{16}{3}+8(a-1)^2+\dfrac{(a-1)^3}{3},&1<a<2. \end{cases}$$ $0<a<1$ では $1-a$ は $a$ とともに減少し、正の数 $u$ に対して $8u^2+u^3/3$ は $u$ とともに増加する。従って $S(a)$ は単調減少する。$1<a<2$ では $a-1$ が増加するので $S(a)$ は単調増加する。 $a=1$ では $f(x)=(x-2)^2$ より $S(1)=16/3$。端点では $f(x)=x(x-1)$（$a=0$）、$f(x)=(x-3)(x-4)$（$a=2$）を直接積分して $S(0)=S(2)=41/3$ となる。したがって全区間 $0\le a\le2$ での最小値は $$\displaystyle \boxed{\frac{16}{3}}\quad\text{であり、そのとき }\boxed{a=1}.$$