2山形大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(x)=(x-1)(x-2)$ は $1\leq x\leq2$ で非正なので $$\displaystyle S_1=-\int_1^2(x^2-3x+2)\,dx=\frac16.$$

(2) $f'(x)=2x-3$ より、点 $(a,f(a))$ での接線は $$y=(2a-3)(x-a)+a^2-3a+2=(2a-3)x-a^2+2.$$

(3) 定義式を場合分けすると $$g(x)=\begin{cases}|3x+2|&(x<0),\\|f(x)|&(x\geq0).\end{cases}$$ $a\geq2$ では、求める領域は $0\leq x\leq a$ にあり、曲線と接線の差は $$g(x)-l(x)=\begin{cases}(x-a)^2&(0\leq x\leq1),\\-x^2+(6-2a)x+a^2-4&(1\leq x\leq2),\\(x-a)^2&(2\leq x\leq a).\end{cases}$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} S_2&=\int_0^1(x-a)^2\,dx+\int_1^2\{-x^2+(6-2a)x+a^2-4\}\,dx+\int_2^a(x-a)^2\,dx\\ &=\left(a^2-a+\frac13\right)+\left(a^2-3a+\frac83\right)+\frac{(a-2)^3}{3}=\frac{a^3+1}{3}. \end{aligned}$$ $S_1=1/6$ だから $S_2=56S_1=28/3$。よって $a^3=27$ であり、条件 $a\geq2$ のもとで $a=3$。

(4) $x<0$ では $|3x+2|=1$ より $x=-1,-1/3$。$x\geq0$ では $|f(x)|=1$ を解く。$f(x)=1$ から $$\displaystyle x^2-3x+1=0,\quad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2},$$ 一方 $f(x)=-1$ は $x^2-3x+3=0$ となり、判別式が $-3$ なので実数解を持たない。従って解は $$\displaystyle x=-1,-\frac13,\frac{3-\sqrt5}{2},\frac{3+\sqrt5}{2}.$$

(5) $x<0$ では $g(x)\leq1$ となる範囲は $-1\le x\le-1/3$ であり、その部分の面積は $$\displaystyle \int_{-1}^{-1/3}(1-|3x+2|)\,dx=\frac13.$$ $x\geq0$ では $f(x)+1=(x-3/2)^2+3/4>0$ だから、$|f(x)|\leq1$ は $f(x)\leq1$ と同値である。$\alpha=(3-\sqrt5)/2$, $\beta=(3+\sqrt5)/2$ とおくと、この範囲は $\alpha\le x\le\beta$。また $\beta=3-\alpha$, $f(3-x)=f(x)$ より $$\displaystyle \begin{aligned} A_+&=2\int_\alpha^1(1-f(x))\,dx+\int_1^2(1+f(x))\,dx\\ &=2\cdot\frac{5\sqrt5-7}{12}+\frac56=\frac{5\sqrt5-2}{6}. \end{aligned}$$ 従って全体の面積は $$\displaystyle A_++\frac13=\frac{5\sqrt5}{6}.$$