4山形大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)(i) 漸化式に$n=1$を代入すると $$\displaystyle a_2=-\frac14+\frac18+\frac14=\frac18.$$

(ii) $\displaystyle b_1=a_2-a_1=-\frac18$。さらに $$\displaystyle b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=-b_n+\frac18.$$ 従って$\displaystyle b_{n+1}-\frac1{16}=-(b_n-\frac1{16})$となるので $$\displaystyle b_n=\frac1{16}-\frac3{16}(-1)^{n-1}=\frac{1+3(-1)^n}{16}.$$

(iii) $$\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k=\frac14+\frac{n-1}{16}+\frac3{16}\sum\limits _{k=1}^{n-1}(-1)^k.$$ 最後の和は$n$が奇数なら$0$、$n$が偶数なら$-1$である。よって $$\displaystyle a_n=\begin{cases}\frac{n+3}{16}&(n\text{ 奇数}),\\\frac n{16}&(n\text{ 偶数}).\end{cases}$$

(2)(i) $c_n=2^{d_n}$とおくと、$\displaystyle d_1=\frac14$であり、与えられた漸化式から $$\displaystyle d_{n+1}=\frac n8+\frac14-d_n.$$ これは$a_n$と同じ漸化式・初項なので$d_n=a_n$。従って $$c_n=\begin{cases}2^{(n+3)/16}&(n\text{ 奇数}),\\2^{n/16}&(n\text{ 偶数}).\end{cases}$$

(ii) $j=1,\ldots,m$について $$(-1)^{2j-1}c_{2j-1}+(-1)^{2j}c_{2j}=2^{j/8}-2^{(j+1)/8}.$$ よって隣り合う項が消去され $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2m}(-1)^kc_k=\sum\limits _{j=1}^m\left(2^{j/8}-2^{(j+1)/8}\right)=2^{1/8}-2^{(m+1)/8}.$$