2福井大学 2023年 数学 第2問解答・解説

箱Aの球数を状態 $i$ とする。初期状態は1、箱Aが空になる状態は0、箱Bが空になる状態は3である。状態1からの移動は上向き確率 $2/3$、下向き確率 $1/3$ で、状態0または3で終了する。

(1) 3回目に初めて状態0となる経路は、状態 $1\to2\to1\to0$ のみである。 $$\displaystyle \Pr(\text{3回目にAが空})=\frac23\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac2{27}.$$

(2) ちょうど $n$ 回目に初めてAが空になるには、$n=2m+1$ が奇数で、移動は $(\text{上},\text{下})$ を $m$ 回繰り返した後に下向きとなる。よって $$\displaystyle \Pr(\text{初めてAが空になるのが }n\text{ 回目}) =\begin{cases} \dfrac{2^m}{3^{2m+1}},&n=2m+1\ (m\ge0),\\[4pt] 0,&n\text{ が偶数}. \end{cases}$$

(3) 初めてBが空になる時刻は $2m+2$ で、経路は $(\text{上},\text{下})$ を $m$ 回の後に上向きを2回続ける。したがってその確率は $2^{m+2}/3^{2m+2}$。ここまでのA空・B空の確率を加える。 $$\displaystyle \Pr(\text{終了が }2k\text{ 回以下}) =\sum\limits _{m=0}^{k-1}\frac{2^m}{3^{2m+1}} +\sum\limits _{m=0}^{k-1}\frac{2^{m+2}}{3^{2m+2}} =1-\left(\frac29\right)^k\quad(k\ge1),$$ $$\displaystyle \Pr(\text{終了が }2k+1\text{ 回以下}) =\sum\limits _{m=0}^{k}\frac{2^m}{3^{2m+1}} +\sum\limits _{m=0}^{k-1}\frac{2^{m+2}}{3^{2m+2}} =1-\frac23\left(\frac29\right)^k\quad(k\ge0).$$

箱Aの球数を1,2の非吸収状態を持つランダムウォークとして見る。端点0,3は吸収状態で、Aが空になる時刻は奇数、Bが空になる時刻は偶数に限られる。終了までの経路は内部2状態を交互に通るため各時刻の確率を明示でき、最後は二つの幾何級数を合計する。